Эдвард М. Парселл
"ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ"
(БЕРКЛЕЕВСКИЙ КУРС ФИЗИКИ, ТОМ II)
М.; "НАУКА", 1971г.

ГЛАВА 1

ЭЛЕКТРОСТАТИКА

1.5. 

Энергия системы зарядов

В принципе закон Кулона - это все, что есть в электростатике. Зная заряды и их координаты, мы можем определить все электрические силы. Если же заряды могут свободно перемещаться под действием других сил, то закон Кулона позволяет найти состояние равновесия, при котором распределение зарядов останется постоянным. В этом же смысле законы движения Ньютона являются основой механики. Но и в механике, и в электромагнетизме мы получаем большую возможность проникновения в сущность проблемы с помощью введения других понятий, наиболее важным из которых является энергия.

В электростатике понятие энергии имеет большое значение, так как электрические силы консервативны. Рассмотрим вначале работу, которая должна быть совершена над системой для того, чтобы определенным образом расположить некоторые заряженные тела. Начнем с двух заряженных тел или частиц, расположенных очень далеко друг от друга, как показано в верхней части рис.1.4, и несущих заряды q1 и q2. Нас совершенно не интересует энергия, с помощью которой были первоначально получены эти концентрации зарядов. Будем медленно сближать частицы, пока расстояние между ними не станет равным r12. Чему равна произведенная при этом работа?

Рис. 1.4. Три заряда, расположенных близко друг к другу. Вначале вносится заряд q2; затем при фиксированных q1 и q2 вносится заряд q3 .

Способ сближения зарядов никакой роли не играет: мы можем перемещать заряд q1 по прямой к q2 или пользоваться любыми окольными путями. В любом случае затраченная работа равна интегралу от произведения силы на смещение в направлении силы. Сила, которую следует приложить для того, чтобы перенести один заряд по направлению к другому, равна и противоположна кулоновской силе

(3)

Поскольку r изменяется от до r12, то приращение смещения равно -dr. Очевидно, что работа, произведенная над системой, будет положительной для одноименных зарядов, так как они отталкиваются друг от друга. Если q1 и q2 выражены в единицах СГСЭq и r12 - в сантиметрах, уравнение (3) дает работу в эргах.

В т.I при изучении консервативных сил (см. т.I, гл.5) мы установили, что эта работа всегда одинакова, независимо от траектории сближения. Применим это доказательство к двум зарядам q1 и q2 (рис.1.5). Пусть заряд q1 закреплен, а заряд q2 может быть перемещен в одно и то же конечное положение по двум различным траекториям.

Рис. 1.5. Если сила является центральной, то на прохождение различных путей между сферами r+dr и r требуется одинаковое количество работы.

Сферическая оболочка, изображенная радиусами r и r+dr, пересекается обеими траекториями. Приращение работы на этом отрезке пути одинаково для обеих траекторий. Это объясняется тем, что сила одинакова по величине на всей сфере и направлена по радиусу от q1, в то время как , следовательно, . Любое приращение работы вдоль одной траектории сопровождается соответствующим приращением на другой, так что полные работы должны быть одинаковы. Наш вывод будет справедлив даже для столь извилистых траекторий, как траектория на рис.1.5, обозначенная пунктиром. (Почему?)

Вернемся теперь к двум зарядам на рис.1.4,б и внесем в систему из какого-нибудь удаленного места третий заряд q3, поместив его в точку P3, расстояние которой от заряда 1 равно r31 см, а от заряда 2 – r32 см. Работа, затраченная на этот перенос, будет равна

(4)

Благодаря свойству аддитивности электрических взаимодействий, которое мы уже подчеркивали выше,

(5)

Таким образом, работа по перенесению заряда q3 в точку P3 равна сумме двух работ, одна из которых необходима для переноса q3 в точку P3, если имеется только один заряд q1, а другая требуется для переноса q3 в точку P3 при наличии только одного заряда q2,

(6)

Следовательно, полная работа, затраченная на образование указанного расположения трех зарядов, которую мы обозначим через U, равна

(7)

Отметим, что величины q1, q2 и q3 входят в уравнение (7) симметрично, несмотря на то, что заряд q3 был внесен в систему последним. Мы получили бы тот же результат, если бы внесли заряд q3 первым. (Попробуйте это проделать.)

Таким образом, работа U не зависит от последовательности, в которой собираются заряды. Ее можно назвать электрической потенциальной энергией рассмотренной системы зарядов. Как всегда в определении потенциальной энергии, здесь существует некоторый произвол. В данном случае нулевое значение потенциальной энергии соответствует ситуации, когда все три заряда уже существуют, но находятся на бесконечно больших расстояниях друг от друга. Потенциальная энергия относится к конфигурации в целом. Приписывать определенную ее часть одному из зарядов не имеет смысла.

Очевидно, что этот простой результат можно обобщить на любое количество зарядов. Если мы имеем N различных зарядов, любым образом расположенных в пространстве, то потенциальная энергия системы вычисляется суммированием по всем парам, как показано в уравнении (7). Нулевое значение потенциальной энергии, как и в первом случае, соответствует удалению всех зарядов на большие расстояния друг от друга.

Рис. 1.6. а) Потенциальная энергия для такого расположения девяти точечных зарядов выражается формулой (8).
б) В сумму входят четыре типа пар.

В качестве примера вычислим потенциальную энергию для восьми отрицательных зарядов, расположенных по углам куба со стороной b, и положительного заряда в центре куба, как это показано на рис.1.6,а. Предположим, что каждый отрицательный заряд является электроном с зарядом -e, в то время как частица в центре несет двойной положительный заряд 2e. Суммируя по всем парам, получим

(8)

На рис.1.6,б показано, откуда берется каждый член этой суммы. Энергия положительна; это значит, что на создание системы была затрачена работа, которая может быть, конечно, получена обратно, если мы предоставим зарядам возможность разойтись, воздействуя при этом на некоторое внешнее тело (или тела).

Если бы электроны могли просто уйти на бесконечность из этой конфигурации, то полная кинетическая энергия всех частиц была бы равна U. Это справедливо и в том случае, если они будут удалены одновременно и симметрично, и в том случае, когда их будут освобождать по одному в любом порядке. Мы чувствуем здесь значение простого понятия полной потенциальной энергии системы. Подумайте, какую задачу пришлось бы выполнить, если бы мы должны были вычислить результирующий вектор силы, действующей на каждую частицу, в каждой стадии создания конфигурации! В нашем примере геометрическая симметрия, конечно, облегчила бы задачу; но даже при этом задача была бы гораздо сложнее, чем простое вычисление, приведенное выше.

Один из способов написания суммы по парам таков:

(9)

Знак двойной суммы обозначает следующее: возьмите j=1 и суммируйте по k=2,3,4,...,N; затем возьмите j=2 и суммируйте по k=1,3,4,...,N; и т.д. до j=N. Ясно, что при этом каждая пара войдет в сумму дважды, поэтому перед знаком суммы стоит множитель ½.

В этой главе:
1.1. Электрический заряд
1.2. Сохранение заряда
1.3. Квантование заряда
1.4. Закон Кулона
1.5. Энергия системы зарядов
1.6. Электрическая энергия кристаллической решетки
1.7. Электрическое поле
1.8. Распределение зарядов
1.9. Поток
1.10. Закон Гаусса
1.11. Поле сферического распределения зарядов
1.12. Поле линейного заряда
1.13. Поле бесконечно большого плоского заряженного слоя
Адаптер питания к ноутбуку - и дома от сети, и в автомобиле!

Возможность выбрать нужное напряжение и комплект разъемов-переходников обеспечат электропитанием любой ноутбук при любых обстоятельствах...

Удобная почтовая доставка не только по России...

 
Более 3000 типов оригинальных аккумуляторов...

...для смартфонов и мобильных телефонов LG, Samsung, Motorola, Nokia, Sony Ericsson и др.

Доставка почтой, курьером...

webmaster@radio-1895.ru