В.А.Котельников, А.М.Николаев
"ОСНОВЫ РАДИОТЕХНИКИ"
Часть I
М.; Связьиздат, 1950г.

ГЛАВА 7

ЧАСТОТНО-МОДУЛИРОВАННЫЕ И ФАЗОВО-МОДУЛИРОВАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ИХ ВОЗДЕЙСТВИЕ НА КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ КОНТУРЫ

§ 7.7. 

Разложение ЧМ и ФМ колебаний на колебания несущей и боковых частот

Для нахождения тока под действием амплитудно-модулированного напряжения мы разлагали последнее на простые синусоидальные колебания, амплитуды и частоты которых постоянны (см. § 6.4).

Проделаем то же для ЧМ и ФМ колебаний. Эти колебания могут быть представлены так:

(7.22)

Разлагая это выражение по формуле косинуса суммы, мы получим

(7.23)

Таким образом, колебание u может быть всегда разложено на два АМ высокочастотных колебания с амплитудами

и .  

При медленном изменении эти амплитуды изменяются сравнительно медленно.

Полученные АМ колебания могут быть разложены в свою очередь на колебания несущих и боковых частот, методом, уже известным нам по гл. 6. Для этого требуется и представить в виде сумм синусоидальных колебаний. Однако в общем случае последнее представляет большие математические трудности. Поэтому мы произведём такое разложение для наиболее простого случая, когда передаваемое колебание, например звук, синусоидально.

В этом случае ЧМ и ФМ колебание может быть записано так:

(7.24)

Разница между ЧМ и ФМ будет лишь в величине m1 и сдвиге фаз . Разложим выражение (7.24) также по формуле косинуса суммы. Беря за первое слагаемое аргумента величину и за второе величину , получим

(7.25)

Амплитуда каждого из полученных колебаний изменяется периодически и поэтому может быть представлена с помощью ряда Фурье в виде суммы простых синусоидальных колебаний.

После этого будет нетрудно разложить каждое АМ колебание на несущую и боковые частоты. Однако разложение этих колебаний в ряд Фурье представляет известную математическую трудность, так как встречающиеся интегралы не берутся элементарно и приводятся к функциям Бесселя. Поэтому сначала мы рассмотрим самый простой случай, положив .

При этом можно считать, что

 

и выражение (7.25) записать так:

(7.26)

Отсюда видно, что ЧМ и ФМ колебание с индексом модуляции может быть представлено так же, как и колебание синусоидально модулированное по амплитуде в виде суммы колебаний несущей и двух боковых частот, причём отличие этого разложения от разложения АМ колебания состоит в том, что перед колебанием нижней боковой частоты стоит знак "минус", а не "плюс". Если индекс модуляции мал (), то на векторной диаграмме можно проследить образование ЧМ и ФМ колебания из колебаний несущей и боковых частот. На рис. 7.6 вектор изображает колебание несущей частоты. Он имеет постоянную длину Um и составляет с горизонтальной осью постоянный угол , поскольку ось проекций вращается с угловой скоростью . Вектор верхней боковой частоты будет вращаться против часовой стрелки с угловой частотой , составляя с вектором несущей в момент времени t = 0 угол . Вектор нижней боковой частоты будет вращаться по часовой стрелке и будет составлять с вектором несущей при t = 0 угол , поскольку в выражении (7.26) колебание, соответствующее этому вектору, имеет знак "минус". Как видно из рис. 7.6, равнодействующая векторов боковых частот будет всегда перпендикулярна вектору несущей (в отличие от амплитудной модуляции, где она совпадала с вектором несущей) и будет менять свою длину. Равнодействующий вектор будет своим концом перемещаться по линии ОЕ, меняя свой угол, как это и должно быть у ЧМ и ФМ колебания.

Как видно из рис. 7.6 длина результирующего вектора будет несколько меняться. Это не соответствует действительности и является результатом неточности произведённого выше приближённого разложения ЧМ колебания.

Рис. 7.6. Векторная диаграмма колебаний несущей и боковых частот при ЧМ и ФМ для случая .
- вектор колебания несущей частоты;
и - векторы колебаний боковых частот;
- результирующий вектор.

При использовании точного разложения колебания длина результирующего вектора на векторной диаграмме будет неизменна. Чем меньше m1, тем точнее приближённое выражение, а следовательно, и построенная на основании его векторная диаграмма.

Для точного разложения ЧМ и ФМ колебания на сумму простых синусоидальных колебаний при любом значении индекса модуляции m1 воспользуемся формулой

 

где Jn(m1) функция Бесселя n-го порядка от m1. Обозначив перепишем выражение (7.24):

 

Подставляя вместо x1 его значение, получим:

(7.27)

На рис.7.7 и 7.8 приведена зависимость Jn(m) для некоторых n.

Рис. 7.7. Бесселевы функции: нулевого порядка - J0(m) и первого порядка - J1(m).
Рис. 7.8. Бесселевы функции: второго порядка - J2(m), третьего порядка - J3(m);
восьмого порядка - J8(m), шестнадцатого порядка - J16(m).

Из теории функций Бесселя известно, что при n > (m1 + 1) значения функций Бесселя Jn(m1) очень быстро убывают с ростом n.

Кроме того, известно, что

J-n(m1) = Jn(m1) при четном n,
J-n(m1) = - Jn(m1) при нечетном n.

На основании изложенного можно сделать следующие выводы:

  1. ЧМ и ФМ колебания в случае модуляции одной частотой могут быть представлены в виде суммы колебаний несущей частоты и боковых частот , расположенных симметрично относительно несущей частоты. Соседние боковые частоты отличаются друг от друга на величину .

  2. Амплитуда каждой из составляющих равна UmJn(m1); при чётном n колебания верхних и нижних боковых частот имеют один и тот же знак; при нечетном n - разные.

  3. Теоретически количество колебаний боковых частот бесконечно велико, однако, поскольку, начиная с n = m1 + 1 амплитуды боковых частот с ростом n резко убывают, на практике можно считать, что число боковых частот равно 2(m1 + 1) (учитывая боковые частоты, расположенные по обе стороны от несущей). Таким образом, полоса частот, занимаемая радиостанцией с частотной или фазовой модуляцией, практически равна

(7.28)

Отсюда следует, что при ЧМ и ФМ несущие частоты радиостанций во избежание взаимных помех должны отличаться друг от друга на величину большую, чем .

При АМ во избежание помех расстояние между несущими частотами станций должно было быть больше .

Таким образом (при m1 > 1) , число ЧМ и ФМ станций в том же диапазоне будет меньше, чем число АМ станций. Эта особенность ЧМ и ФМ является основным их недостатком, по причине которого данные виды модуляции (для телефонной передачи) применяются в основном лишь на ультракоротких волнах, где частотный спектр ещё не насыщен станциями.

Колебание, модулированное по частоте или фазе одновременно двумя частотами и , может быть записано так:

(7.29)

Такое колебание также может быть разложено на составляющие несущей и боковых частот. Можно показать аналогично предыдущему (из-за громоздкости мы вывода приводить не будем), что в разложении будут составляющие со следующими частотами и амплитудами:

  1. несущая частота с амплитудой UmJ0(m1)J0(m2);
  2. боковые частоты с амплитудами UmJ0(m2)Jn(m1);
  3. боковые частоты с амплитудами UmJ0(m1)Jn(m2);
  4. боковые частоты с амплитудами UmJp(m1)Jq(m2),

где p и q- любые целые числа.

Ширина полосы частот, занимаемая этим колебанием, может быть принята равной , где - частотное отклонение, - наибольшая из модулирующих частот.

При колебание (7.29) может быть легко разложено на колебания несущей и боковых частот приближённым методом, аналогичным применявшемуся нами в случае при модуляции одной частотой.

В этой главе:
§ 7.1. Вводные замечания
§ 7.2. Частота колебания
§ 7.3. Частотно-модулированные колебания
§ 7.4. Фазово-модулированные колебания
§ 7.5. Векторные диаграммы ЧМ и ФМ колебаний
§ 7.6. Преимущество частотной и фазовой модуляции перед амплитудной
§ 7.7. Разложение ЧМ и ФМ колебаний на колебания несущей и боковых частот
§ 7.8. Спектральные диаграммы ЧМ и ФМ колебаний
§ 7.9. Воздействие ЧМ и ФМ напряжения на цепи с комплексной проводимостью
§ 7.10. Приближённый метод исследования схем при частотной и фазовой модуляции
СОЛНЕЧНАЯ ЗАРЯДКА со встроенным аккумулятором!

Вы только на емкость встроенного аккумулятора взгляните - более чем 7 А·ч...

Удобная почтовая доставка не только по России...

 
Более 3000 типов оригинальных аккумуляторов...

...для смартфонов и мобильных телефонов LG, Samsung, Motorola, Nokia, Sony Ericsson и др.

Доставка почтой, курьером...

webmaster@radio-1895.ru